解答题
6.设函数S(x)=∫0x|cost|dt。
(Ⅰ)当n为正整数，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明2n≤S(x)＜2(n+1)；
(Ⅱ)求
(Ⅰ)当n为正整数，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明2n≤S(x)＜2(n+1)；
(Ⅱ)求
【正确答案】(Ⅰ)因为|cosx|≥0，且nπ≤x＜(n+1)π，所以
∫0nπ|cosx|dx≤∫0x|cosx|dx＜∫0(n+1)π|cosx|dx(定积分的性质)。
又因为|cosx|的周期是π，所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等，则
∫0nπ|cosx|dx=∫0π|cosx|dx+∫π2π|cosx|dx+…+∫(n－1)πnπ|cosx|dx
=n∫0π|cosx|dx=n(∫0π／2cosxdx－∫π／2nncosxdx)
=n(sinx|0π／2－sinx|π／2π)=n[1－(0－1)]=2n，
所以∫0(n+1)π|cosx|dx=2(n+1)。
所以2n≤∫0x|cosx|dx＜2(n+1)，即2n≤S(x)＜2(n+1)。
(Ⅱ)由(Ⅰ)有，当nπ≤x＜(n+1)π时，
由夹逼定理，得
∫0nπ|cosx|dx≤∫0x|cosx|dx＜∫0(n+1)π|cosx|dx(定积分的性质)。
又因为|cosx|的周期是π，所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等，则
∫0nπ|cosx|dx=∫0π|cosx|dx+∫π2π|cosx|dx+…+∫(n－1)πnπ|cosx|dx
=n∫0π|cosx|dx=n(∫0π／2cosxdx－∫π／2nncosxdx)
=n(sinx|0π／2－sinx|π／2π)=n[1－(0－1)]=2n，
所以∫0(n+1)π|cosx|dx=2(n+1)。
所以2n≤∫0x|cosx|dx＜2(n+1)，即2n≤S(x)＜2(n+1)。
(Ⅱ)由(Ⅰ)有，当nπ≤x＜(n+1)π时，
由夹逼定理，得
【答案解析】