问答题
过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的图形记为D．
(Ⅰ)求D的面积；
(Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体体积．
【正确答案】设切点坐标为P(x0，y)，于是曲线y=ex在点P的切线斜率为y'0=[*]，切线方程为
[*]
它经过点O(0，0)所以[*]．又因[*]，代入求得x0=1，从而y0=[*]=e，切线方程为y=ex．
[*]
(Ⅰ)取水平条为A的面积元素，D的面积
[*]
(积分[*]为反常积分，[*]来自洛必达法则)．
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体体积微元为
[*]
从而 [*]
【答案解析】