解答题
设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．
证明：
证明：
问答题
15.ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)=f′(ξ2)=0。
【正确答案】令F(x)=∫0xf(t)dt，F′(x)=f(x)，
∫02f(t)dt=F(2)－F(0)=F′(c)(2－0)=2f(c)，其中0＜c＜2．
因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，
由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=
，即f(2)+f(3)=2f(x0)，
于是f(0)=f(c)=f(x0)，
由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)
(0，3)，ξ2∈(c，x0)
∫02f(t)dt=F(2)－F(0)=F′(c)(2－0)=2f(c)，其中0＜c＜2．
因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，
由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=
，即f(2)+f(3)=2f(x0)，于是f(0)=f(c)=f(x0)，
由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)
(0，3)，ξ2∈(c，x0)【答案解析】
问答题
16.存在ξ∈(0，3)，使得f″(ξ)－2f′(ξ)=0．
【正确答案】令φ(x)=e－2xf′(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】