解答题
17.已知y1*＝e﹣2x＋xe﹣x，y2*＝2xe﹣2x＋xe﹣x，y3*＝e﹣2x＋xe﹣x＋2xe﹣2x是某二阶线性常系数微分方程y''＋py'＋qy＝f(x)的三个解。
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y＝y(x)是该方程满足y(0)＝0，y'(0)＝0的特解，求∫0﹢∞y(x)dx。
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y＝y(x)是该方程满足y(0)＝0，y'(0)＝0的特解，求∫0﹢∞y(x)dx。
【正确答案】(Ⅰ)由线性方程组的叠加定理得
y1(x)＝y3*(x)－y1*(x)＝2xe﹣2x，
y1(x)＝y3*(x)-y2*(x)＝e﹣2x，
均是相应的齐次方程的解，故线性无关。则该方程的特征根为λ＝﹣2，且为重根，故特征方程为(λ＋2)2＝0，即y''＋4y'＋4y＝0。把三个解的公共部分xe﹣x代入y''＋4y'＋4y＝f(x)可得f(x)＝(x＋2)e﹣x，故方程为y''＋4y'＋4y＝(x＋2)e﹣x，其通解为y(x)＝C1e﹣2x＋C2xe﹣2x＋xe﹣x，其中C1，C2为任意常数。
(Ⅱ)由第(Ⅰ)问中得到的y(x)通解知，对任意的C1，C21，方程的解y(x)均有
。
不必由初值确定C1，C2，直接将方程两边积分得
∫0﹢∞y''(x)dx＋4∫0﹢∞y'(x)dx＋4∫0﹢∞y(x)dx＝∫0﹢∞(x＋2)e﹣xdx
→y'(x)｜0﹢∞＋4y(x)｜0﹢∞＋4∫0﹢∞y(x)dx＝∫0﹢∞(x＋2)e﹣xdx
→∫0﹢∞y(x)dx＝
y1(x)＝y3*(x)－y1*(x)＝2xe﹣2x，
y1(x)＝y3*(x)-y2*(x)＝e﹣2x，
均是相应的齐次方程的解，故线性无关。则该方程的特征根为λ＝﹣2，且为重根，故特征方程为(λ＋2)2＝0，即y''＋4y'＋4y＝0。把三个解的公共部分xe﹣x代入y''＋4y'＋4y＝f(x)可得f(x)＝(x＋2)e﹣x，故方程为y''＋4y'＋4y＝(x＋2)e﹣x，其通解为y(x)＝C1e﹣2x＋C2xe﹣2x＋xe﹣x，其中C1，C2为任意常数。
(Ⅱ)由第(Ⅰ)问中得到的y(x)通解知，对任意的C1，C21，方程的解y(x)均有
。不必由初值确定C1，C2，直接将方程两边积分得
∫0﹢∞y''(x)dx＋4∫0﹢∞y'(x)dx＋4∫0﹢∞y(x)dx＝∫0﹢∞(x＋2)e﹣xdx
→y'(x)｜0﹢∞＋4y(x)｜0﹢∞＋4∫0﹢∞y(x)dx＝∫0﹢∞(x＋2)e﹣xdx
→∫0﹢∞y(x)dx＝
【答案解析】