解答题
26.求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小，并求出最小体积．
【正确答案】设切点为M0(x0，y0，1+x20+y20)．则抛物面在点M0处的切平面方程为
2x0(x-x0)+2y0(y-y0)-[z-(1+x20+y20)]=0，
即z=2x0x+2y0y+(1-x20-y20)．
所求体积的立体是以此切平面为底，抛物面z=1+x2+y2为顶，(x-1)2+y2=1为侧面的柱体，所以由二重积分的几何意义知
解方程组
解得x0=1，y0=0
又
2x0(x-x0)+2y0(y-y0)-[z-(1+x20+y20)]=0，
即z=2x0x+2y0y+(1-x20-y20)．
所求体积的立体是以此切平面为底，抛物面z=1+x2+y2为顶，(x-1)2+y2=1为侧面的柱体，所以由二重积分的几何意义知
解方程组
解得x0=1，y0=0又
【答案解析】