单选题
设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是______
A．若u1＞u2，则un必收敛．
B．若u1＞u2，则un必发散．
C．若u1＜u2，则un必收敛．
D．若u1＜u2，则un必发散．
A．若u1＞u2，则un必收敛．
B．若u1＞u2，则un必发散．
C．若u1＜u2，则un必收敛．
D．若u1＜u2，则un必发散．
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 由题意可知，函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，并且f"(x)＞0，所以可以判断函数f(x)在(0，+∞)是凹函数．由于f"(x)＞0，因此f'(x)是单调递增函数，f(x)有以下几种情形，用图示法进行选择：
当u1=f(1)＞u2=f(2)时，这时，f(n)=un的变化有三种可能：
第一种，所示：
第二种，所示：
第三种，所示：
存在．
因此否定了A、B．
当u1＜u2时只有如图2的可能，即．选D．
下面再对正确选项D进行证明：
由拉格朗日中值定理，有
un+1-un=f(n+1)-f(n)
=f' (ξn)(n+-n)=f'(ξn)，
其中 ξn∈(n，n+1)，n=1，2，…，
由于f"(x)＞0，那么f'(x)单调递增，
故 f'(ξ1)＜f'(ξ2)＜…＜f'(ξn)＜…，
所以
于是当u2-u1＞0时，可以得出
当u1=f(1)＞u2=f(2)时，这时，f(n)=un的变化有三种可能：
第一种，所示：
第二种，所示：
第三种，所示：
存在．因此否定了A、B．
当u1＜u2时只有如图2的可能，即
．选D．下面再对正确选项D进行证明：
由拉格朗日中值定理，有
un+1-un=f(n+1)-f(n)
=f' (ξn)(n+-n)=f'(ξn)，
其中 ξn∈(n，n+1)，n=1，2，…，
由于f"(x)＞0，那么f'(x)单调递增，
故 f'(ξ1)＜f'(ξ2)＜…＜f'(ξn)＜…，
所以
于是当u2-u1＞0时，可以得出