解答题
23.设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα＝3β，Aβ＝3α。
(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵；
(Ⅱ)若α＝(0，﹣1，1)T，β＝(1，0，﹣1)T，求矩阵A。
(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵；
(Ⅱ)若α＝(0，﹣1，1)T，β＝(1，0，﹣1)T，求矩阵A。
【正确答案】(Ⅰ)因为A的各行元素和为零，从而λ＝0为A的一个特征值，并且γ＝(1，1，1)T为A属于λ＝0的特征向量。
另一方面，又因为Aα＝3β，Aβ＝3α，所以
A(α＋β)＝3(α＋β)，A(α－β)＝﹣3(α－β)，
λ＝3和λ＝﹣3为A的两个特征值，并且α＋β和α－β为A属于λ＝3，﹣3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。
(Ⅱ)A的三个特征向量为
γ＝(1，1，1)T，α＋β＝(1，﹣1，0)T，α－β＝(﹣1，﹣1，2)T，
令P＝(γ，α＋β，α－β)，
，
则P﹣1AP＝
，所以
A＝P
P﹣1＝
另一方面，又因为Aα＝3β，Aβ＝3α，所以
A(α＋β)＝3(α＋β)，A(α－β)＝﹣3(α－β)，
λ＝3和λ＝﹣3为A的两个特征值，并且α＋β和α－β为A属于λ＝3，﹣3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。
(Ⅱ)A的三个特征向量为
γ＝(1，1，1)T，α＋β＝(1，﹣1，0)T，α－β＝(﹣1，﹣1，2)T，
令P＝(γ，α＋β，α－β)，
，则P﹣1AP＝
，所以A＝P
P﹣1＝【答案解析】