【正确答案】 A

【答案解析】若α是(I)的解，即Aⁿα=0，显然Aⁿ⁺¹α=A(Aⁿα)=AO=0，即α必是(Ⅱ)的解．可排除C和D．若η是(Ⅱ)的解，即Aη=0．假若η不是(I)的解，即Aⁿη≠0，那么对于向量组η，Aη，A²η，…，Aⁿη，一方而这是n+1个n维向量必线性相关；另一方面，若kη+k₁Aη+k₂A²η+…+kAⁿη=0，用Aⁿ左乘上式，并把Aⁿ⁺¹η=0，Aⁿ⁺²η=0，…，代入，得kAⁿη=0．由于Aⁿη≠0，必确k=0．对k₁Aη+k₂A²η+…+kAⁿη=0，用A^n-1左乘上式上推知k₁=0．类似可知k_i=0(i=2，3，…，η)．于是向量组η，Aη，A²η，…，Aⁿη线性无关，两者矛盾．所以必有Aⁿη=0，即(Ⅱ)的解必是(1)的解．由此町排除B．故应选A．