解答题
设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：
问答题
A2=A的充分条件是ξTξ=1
【正确答案】
【答案解析】A2=(E-ξξT)(E-ξξT)=E-2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=E-(2-ξTξ)ξξT
因此A2=A
E-(2-ξTξ)ξξT=E-ξξT
因此A2=A
E-(2-ξTξ)ξξT=E-ξξT
问答题
当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵
【正确答案】
【答案解析】方法一：当ξTξ=1时，由A=E-ξξT可得
Aξ=ξ-ξξTξ=ξ-ξ=0，
因为ξ≠0，因此Ax=0有非零解，即|A|=0，所以A不可逆．
方法二：当ξTξ=1时，由于A2=A
Aξ=ξ-ξξTξ=ξ-ξ=0，
因为ξ≠0，因此Ax=0有非零解，即|A|=0，所以A不可逆．
方法二：当ξTξ=1时，由于A2=A