问答题
设随机变量X与Y相互独立，且X的概率分布为PX=1=0.4，PX=3=0.6，Y服从参数为5的指数分布，Z=XY．求：
(Ⅰ)Z的分布函数Fz(z)和概率密度fZ(z)；
(Ⅱ)Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)．
(Ⅰ)Z的分布函数Fz(z)和概率密度fZ(z)；
(Ⅱ)Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)．
【正确答案】Y的概率密度fY(y)和分布函数FY(y)分别为
从而有
(Ⅰ)由于X与Y相互独立，根据全概率公式，得
(Ⅱ) 解法一 因为
所以
D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2=0.464-(0.44)2=0.2704．
解法二 因为
从而有
(Ⅰ)由于X与Y相互独立，根据全概率公式，得
(Ⅱ) 解法一 因为
所以
D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2=0.464-(0.44)2=0.2704．
解法二 因为
【答案解析】[分析] 根据全概率公式和随机变量的独立性，用y的分布函数FY(y)表达FZ(z)，用Y的概率密度fY(y)表达fZ(z)，再用E(Y)表达E(Y2)，用E(Y2)表达E(Z2)，从而求得D(Z)．