解答题
设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+6y32。
问答题
14.求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
【正确答案】二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为
由矩阵B可知矩阵A的特征值为2，2，6。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。由于2是A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E—A的秩为1，而
所以a=一1。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=一1对应的特征向量分别为α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T，α3=(1，1，1)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化，即
再将β1，β2，α3单位化，即
则正交变换矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)=
由矩阵B可知矩阵A的特征值为2，2，6。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。由于2是A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E—A的秩为1，而
所以a=一1。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=一1对应的特征向量分别为α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T，α3=(1，1，1)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化，即
再将β1，β2，α3单位化，即
则正交变换矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)=
【答案解析】
问答题
15.求f在xTx=3下的最大值。
【正确答案】二次型f=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为2y2+2y2一y2。条件xTx=3等价于yTQTy=y2+y2+y2=3，此时f=2y12+2y22一y32=6—3y2的最大值为6，所以f在xTx=3下的最大值是6。
【答案解析】