解答题
6.
正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为
正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为
【正确答案】由题设，ξ=(1，2，1)T为A的一个特征向量，于是有Aξ=λ1ξ，即
解得λ1=2，a=－1．所以
由A的特征方程
=(λ－2)(λ－5)(λ+4)=0，
得A的特征值为2，5，－4．
对于特征值5，求齐次线性方程组(5I－A)x=0的基础解系，由
得通解x1=x3，x2=－x3(x3任意)．令x3=1，得基础解系为(1，－1，1)T，将其单位化，得属于特征值5的一个单位特征向量为
(1，－1，1)T．
同理可求得属于特征值－4的一个单位特征向量为
(－1，0，1)T．
解得λ1=2，a=－1．所以
由A的特征方程
=(λ－2)(λ－5)(λ+4)=0，
得A的特征值为2，5，－4．
对于特征值5，求齐次线性方程组(5I－A)x=0的基础解系，由
得通解x1=x3，x2=－x3(x3任意)．令x3=1，得基础解系为(1，－1，1)T，将其单位化，得属于特征值5的一个单位特征向量为
(1，－1，1)T．同理可求得属于特征值－4的一个单位特征向量为
(－1，0，1)T．【答案解析】