问答题
若n阶矩阵A满足AA
T
=E，其中E是n阶单位矩阵，则称A为正交矩阵．证明：
(Ⅰ)若A，B是n阶正交矩阵，则A T B也是n阶正交矩阵；
(Ⅱ)若λ是正交矩阵A的实特征值，则λ只可能是1或-1；
(Ⅲ)若|A||B|＜0，则|A+B|=|A|+|B|．
(Ⅰ)若A，B是n阶正交矩阵，则A T B也是n阶正交矩阵；
(Ⅱ)若λ是正交矩阵A的实特征值，则λ只可能是1或-1；
(Ⅲ)若|A||B|＜0，则|A+B|=|A|+|B|．
【正确答案】
【答案解析】[证明] A，B为正交矩阵，则AA
T
=E，|A|=|A
T
|
|A|
2
=1
|A|=±1；同理有|B|=±1．因此|A|+|B|=0或±2．
(Ⅰ)A为正交矩阵，则有AA T =E，即A -1 =A T ，从而有
A -1 (A -1 ) T =A T (A -1 ) T =(A -1 A) T =E，
由此证得A -1 ，A T 为正交矩阵．
A，B为正交矩阵，则
(AB)(AB) T =ABB T A T =A(BB T )A T =AA T =E，
所以AB也为正交矩阵．
综上可知A T B也为正交矩阵．
(Ⅱ)若A为正交矩阵，λ是A的实特征值，设p≠0为相应λ的特征向量，则
Ap=λp
p
T
A
T
=λp
T
p
T
A
T
(Ap)=λp
T
(λp)
p
T
(A
T
A)p=λ
2
(p
T
p)
p
T
p=λ
2
(p
T
p)．
由p T p≠0
|A|
2
=1
|A|=±1；同理有|B|=±1．因此|A|+|B|=0或±2．
(Ⅰ)A为正交矩阵，则有AA T =E，即A -1 =A T ，从而有
A -1 (A -1 ) T =A T (A -1 ) T =(A -1 A) T =E，
由此证得A -1 ，A T 为正交矩阵．
A，B为正交矩阵，则
(AB)(AB) T =ABB T A T =A(BB T )A T =AA T =E，
所以AB也为正交矩阵．
综上可知A T B也为正交矩阵．
(Ⅱ)若A为正交矩阵，λ是A的实特征值，设p≠0为相应λ的特征向量，则
Ap=λp
p
T
A
T
=λp
T
p
T
A
T
(Ap)=λp
T
(λp)
p
T
(A
T
A)p=λ
2
(p
T
p)
p
T
p=λ
2
(p
T
p)．
由p T p≠0