问答题
设函数f(x)在[2，4]上连续，在(2，4)内可导，且
，证明：存在ξ∈(2，4)，使得
，证明：存在ξ∈(2，4)，使得
【正确答案】令F(x)=(x-1)2f(x)，则F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f'(x)，
由积分中值定理知，存在c∈[3，4]，使得
，
即F(2)=F(c)。由罗尔定理知，存在ξ∈(2，c)
(2，4)，使得F'(ξ)=0，
即2(ξ-1)f(ξ)+(ξ-1)2f'(ξ)=0，即
由积分中值定理知，存在c∈[3，4]，使得
，即F(2)=F(c)。由罗尔定理知，存在ξ∈(2，c)
(2，4)，使得F'(ξ)=0，即2(ξ-1)f(ξ)+(ξ-1)2f'(ξ)=0，即
【答案解析】[考点] 中值定理的应用