解答题
7.设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)
为A-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)
为A-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)
【正确答案】若λ＝0，则有｜0E－A｜＝0，即(－1)n｜A｜＝0，
｜A｜＝0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Aχ＝λχ两端右乘A-1，得λA-1χ＝χ，两端同乘
，得A-1χ＝
χ，故
为A-1的一个特征值，且χ为对应的特征向量；因A-1＝｜A｜A* 代入A-1χ＝
χ，得A*χ＝
，故
｜A｜＝0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Aχ＝λχ两端右乘A-1，得λA-1χ＝χ，两端同乘，得A-1χ＝χ，故为A-1的一个特征值，且χ为对应的特征向量；因A-1＝｜A｜A* 代入A-1χ＝χ，得A*χ＝，故【答案解析】