问答题
已知某厂商的长期生产函数为Q=aA0.5B0.5C0.25，Q为每月产量，A、B与C为每月投入的三种生产要素；三种生产要素的价格分别为PA=1元，PB=9元，PC=8元。
(1)推导出厂商长期总成本函数、长期平均成本函数和长期边际成本函数。
(2)在短期内，C为固定生产要素，A与B是可变要素，推导出厂商的短期总成本函数、短期平均成本函数、短期平均可变成本函数和短期边际成本函数。
【正确答案】(1)因为PA=1，PB=9，PC=8，则LTC=A+9B+8C，从而厂商的长期成本最小化问题为：
[*]
相应的拉格朗日函数为：
X=A+9B+8C+λ(Q-aA0.5B0.5C0.25)
上式分别对A、B、C及λ求偏导，得：
[*] ①
[*] ②
[*] ③
[*]
联立①、②、③式得：
[*]
解得：
B=A/9 C=A/16
把B和C的表达式代入④式，得：
[*]
解得：[*] ⑤
将⑤式代入成本方程，得：
[*]
这就是说，长期总成本函数为：
[*]
长期平均成本函数为：
[*]
长期边际成本函数为：
[*]
(2)在短期中，C为固定要素，A、B为可变要素，则[*]PB·B=A+9B。由成本最小化的必要条件[*]得：
[*]
从而求得B=A/9，代入生产函数得：
[*]
即：
[*] ⑥
将⑥式代入成本方程，得[*]
[*]
即短期总成本函数为：
[*]
短期平均成本函数为：
[*]
短期平均可变成本函数为：
[*]
短期边际成本函数为：
[*]
【答案解析】