填空题 4.设A，B为3阶相似矩阵，且｜ 2E+A｜=0，λ1=1，λ2=－1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=_________．
  • 1、
【正确答案】 1、18    
【答案解析】由｜2E+A｜=｜A－(－2E)｜=0知λ=－2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1=1，λ2=－1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ1=1，λ2=－1，λ3=－2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(－1)=－1，1+2×(－2)=－3，从而
｜E+2B｜=3×(－1)×(－3)=9，｜A｜=λ1λ2λ3=2．
故
｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=2×9=18．