问答题
用分部积分法计算定积分．
问答题
计算
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
计算
【正确答案】e-2
【答案解析】
问答题
计算
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
计算
【正确答案】1
【答案解析】
问答题
计算
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
设f(x)是(-∞，+∞)上的连续函数，且满足f(x)=
【正确答案】令[*]，得f(x)=3x2-Ax，两边取区间[0，1]上的定积分，得
[*]，
亦即[*]，得[*]，所以[*]．
[*]，
亦即[*]，得[*]，所以[*]．
【答案解析】
问答题
已知
【正确答案】将等式两边对x求导，得[*]，即有[*]，
将等式两边取不定积分[*]，得lnf(x)=2x+C1，
即f(x)=[*](其中C=[*])，由f(0)=Ce0=C，
得C=1，所以f(x)=e2x．
将等式两边取不定积分[*]，得lnf(x)=2x+C1，
即f(x)=[*](其中C=[*])，由f(0)=Ce0=C，
得C=1，所以f(x)=e2x．
【答案解析】
问答题
已知
，证明
，证明
【正确答案】证明：由已知，得[*]，两边对x求导，得
[*]，即[*]，
在上式中，令[*]，得[*]，即[*]．
【答案解析】
问答题
设函数f(x)在区间[0，1]上连续，证明
【正确答案】证明：作变换，令1-2x=t，得[*]，dx=-[*]，
当x=0时，t=1；当[*]时，t=0，
则有[*]．
【答案解析】
问答题
设f(x)是以T为周期的周期函数，证明
【正确答案】证法Ⅰ 因为f(x)是以T为周期的周期函数，所以f(x+T)=f(x)。
[*]．
其中右式的第3项[*]进行变量代换，令x=t+T，dx=dt，
当x=T时，t=0；当x=a+T时，t=a，则有
[*]，
所以[*]，
即[*]．
证法Ⅱ 设[*]，根据变上限定积分求导定理的推论3，有
F'(a)=f(a+T)-f(a)，
因为f(x)是以T为周期的周期函数，即有f(a+T)=f(a)．
所以F'(a)=0．由拉格朗日中值定理的推论可知，F(a)应为常数函数，所以F(a)=F(0)，
即[*]．
【答案解析】
问答题
设函数f(x)满足f(x)=
，证明
，证明
【正确答案】证明：令[*]，由已知，得f(x)=lnx-A，
上式两边同时取区间[1，e]上的定积分，得
[*]，
得eA=1，A=[*]，即[*]．
【答案解析】
问答题
在区间[0，4]上计算曲线y=4-x2与x轴、y轴以及x=4所围成的图形的面积．
【正确答案】给定的曲线所围成的平面图形(如下图所示)，其面积为
[*]，
[*]
【答案解析】
问答题
求由抛物线y=1-x2及其在点(1，0)处的切线和y轴所围成的平面图形的面积．
【正确答案】画出平面图形(如下图所示)，y'=-2x，y'|x=1=-2，
[*]
过点(1，0)处的切线方程为y=-2(x-1)．则有
[*]
[*]
过点(1，0)处的切线方程为y=-2(x-1)．则有
[*]
【答案解析】
问答题
设抛物线y2=2x与该曲线在点
【正确答案】给定的曲线所围成的平面图形(如下图所示)，首先要求出法线的方程
[*]
由y2=2x得y'=[*]，则[*]，抛物线在点[*]处的法线斜率为k=-1，法线方程为[*]，即[*]．
解方程组[*]得[*]．
即抛物线及其法线的交点分别为[*]．
求平面图形D的面积选择以y为积分变量较为方便，所求平面图形D的面积为
[*]．
[*]
由y2=2x得y'=[*]，则[*]，抛物线在点[*]处的法线斜率为k=-1，法线方程为[*]，即[*]．
解方程组[*]得[*]．
即抛物线及其法线的交点分别为[*]．
求平面图形D的面积选择以y为积分变量较为方便，所求平面图形D的面积为
[*]．
【答案解析】
问答题
曲线y=ex与x轴、y轴以及直线x=4围成一个平面区域，试在区间(0，4)内找一点x0，使直线x=x0平分这个平面区域的面积．
【正确答案】依题意，如下图所示，应有[*]，得[*]，
[*]
即[*]，解方程得[*]，即x0=ln(e4+1)-ln2．
[*]
即[*]，解方程得[*]，即x0=ln(e4+1)-ln2．
【答案解析】
问答题
确定常数k，使曲线y=x2与直线x=k，x=k+2，y=0所围图形的面积最小．
【正确答案】面积函数为[*]，
S'=4k+4，令S'=4k+4=0，得惟一驻点k=-1，因为S"=4，S"(-1)=4＞0，
所以当k=-1时，曲线y=x2与直线x=k，x=k+2，y=0所围图形的面积最小．
S'=4k+4，令S'=4k+4=0，得惟一驻点k=-1，因为S"=4，S"(-1)=4＞0，
所以当k=-1时，曲线y=x2与直线x=k，x=k+2，y=0所围图形的面积最小．
【答案解析】
问答题
求由曲线y=2-x2，y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．
【正确答案】本题为两条相交曲线及y轴所围成的平面图形(如下图所示)绕x轴旋转所生成的旋转体求体积，属X型，
[*]
[*]
【答案解析】
问答题
求由曲线y=x2与直线x=1，x=2及y=0所围成的平面图形的面积S及该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx．
【正确答案】本题为一条抛物线与两条垂直于x轴的直线及x轴所围成的曲边梯形(如下图所示)．所求图形的面积为[*]，
[*]
所求旋转体的体积为[*]．
【答案解析】
问答题
(Ⅰ)求由直线x=0，x=2，y=0与抛物线y=-x2+1所围成的平面图形的面积；
(Ⅱ)求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．
(Ⅱ)求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．
【正确答案】所围成的平面图形(如下图所示)
[*]
(Ⅰ)[*]；
(Ⅱ)[*]．
【答案解析】