问答题
已知随机变量X的分布函数F
X
(x)=
(λ＞0)，Y=lnX．(I)求Y的概率密度f
Y
(y)；(Ⅱ)计算
(λ＞0)，Y=lnX．(I)求Y的概率密度f
Y
(y)；(Ⅱ)计算
【正确答案】正确答案：(I)由题设知X的概率密度f
X
(x)=
所以Y的分布函数 F
Y
(y)=P{Y≤y}=P{lnX≤y}(y∈R)． 由于P{X＞1}=1，故当y≤0时F
Y
(y)=0；当y＞0时， F
Y
(y)=P{1＜X＜e
y
}=
=1—e
-λy
． 于是
故Y=lnX的概率密度
可见，Y服从参数为λ的指数分布． (Ⅱ)P{Y≥k}=∫
k
+∞
λe
-λy
dy=e
-λk
，由于λ＞0，0＜e
-λ
＜1，故
所以Y的分布函数 F
Y
(y)=P{Y≤y}=P{lnX≤y}(y∈R)． 由于P{X＞1}=1，故当y≤0时F
Y
(y)=0；当y＞0时， F
Y
(y)=P{1＜X＜e
y
}=
=1—e
-λy
． 于是
故Y=lnX的概率密度
可见，Y服从参数为λ的指数分布． (Ⅱ)P{Y≥k}=∫
k
+∞
λe
-λy
dy=e
-λk
，由于λ＞0，0＜e
-λ
＜1，故
【答案解析】