解答题
2.求[0，＋∞)上连续曲线y＝f(χ)≥0的方程，使曲线y＝f(χ)与两坐标轴及过点(t，0)(t＞0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形，绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于
【正确答案】该旋转体记为Ωt，它的体积是
V＝π∫01f2(χ)dχ．
它的形心的χ坐标
χdV／π∫0tf2(χ)dχ，
其中
＝∫0tχ.πf2(χ)dχ
于是
＝π∫0tχf2(χ)dχ／π∫0tf2(χ)dχ＝∫0tχf3(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ．
按题意得
∫0tχf2(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ＝
t，
即∫0tχf2(χ)dχ＝
t∫0tf2(χ)dχ． ①
两边求导得
tf2(t)＝
即tf2(t)＝∫0tf2(t)dt ②
再对t求导得
f2(t)＋2tf(t)f′(t)＝4f2(f)，
即f′(t)－
f(t)＝0(t＞0)． ③
(①，②式中令t＝0时等式自然成立，不必另加条件．)
现在③式两边乘
得
＝0．积分得
f(t)＝C
(t＞0)．
又f(χ)在[0，＋∞)上连续，因此求得
f(χ)＝C
(χ≥0)，其中C＞0为
V＝π∫01f2(χ)dχ．
它的形心的χ坐标
χdV／π∫0tf2(χ)dχ，其中
＝∫0tχ.πf2(χ)dχ于是
＝π∫0tχf2(χ)dχ／π∫0tf2(χ)dχ＝∫0tχf3(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ．按题意得
∫0tχf2(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ＝
t，即∫0tχf2(χ)dχ＝
t∫0tf2(χ)dχ． ①两边求导得
tf2(t)＝
即tf2(t)＝∫0tf2(t)dt ②
再对t求导得
f2(t)＋2tf(t)f′(t)＝4f2(f)，
即f′(t)－
f(t)＝0(t＞0)． ③(①，②式中令t＝0时等式自然成立，不必另加条件．)
现在③式两边乘
得＝0．积分得f(t)＝C
(t＞0)．又f(χ)在[0，＋∞)上连续，因此求得
f(χ)＝C
(χ≥0)，其中C＞0为【答案解析】