问答题
设齐次线性方程组
有非零解，且
为正定矩阵，求a，并求当|A|=
有非零解，且
为正定矩阵，求a，并求当|A|=
【正确答案】
【答案解析】[解] 因为方程组有非零解，所以
=a(a+1)(a-3)=0，即a=-1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以a
ii
＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由
得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得
而当
时，
=Y
T
Y=Y
T
Q
T
QY=(QY)
T
(QY)=X
T
X=|X|
2
=2
所以当
时，X
T
AX的最大值为20(最大值20可以取到，如y
1
=y
2
=0，y
3
=
=a(a+1)(a-3)=0，即a=-1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以a
ii
＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由
得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得
而当
时，
=Y
T
Y=Y
T
Q
T
QY=(QY)
T
(QY)=X
T
X=|X|
2
=2
所以当
时，X
T
AX的最大值为20(最大值20可以取到，如y
1
=y
2
=0，y
3
=