解答题
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A
*
，证明：
问答题
若|A|=0，则|A
*
|=0
【正确答案】
【答案解析】
(反证法)假设|A
*
|≠0，由矩阵可逆的充分必要条件可知A
*
是可逆矩阵，则有A
*
(A
*
)
-1
=E，又因为A
*
=A
-1
|A|，这里|A|≠0，由此得
A=AE=AA
*
(A
*
)
-1
=|A|E(A
*
)
-1
=0，
所以A
*
=O．这与|A
*
|≠0矛盾，故当|A|=0时，有|A
*
|=0．
问答题
|A
*
|=|A|
n-1
【正确答案】
【答案解析】
由于AA
*
=|A|E，两端同时取行列式得|A||A
*
|=|A|
n
．
当|A|≠0时，|A
*
|=|A|
n-1
；当|A|=0时，|A
*
|=0．
综上，有|A
*
|=|A|
n-1
成立．
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