【正确答案】若p(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导且在(0，1)内不等于零，于是
ξf'(ξ)+(4-ξ)²f(ξ)=0[*]ξp(ξ)f'(ξ)+p(ξ)(4-ξ)²f(ξ)=0． ①
若[xp(x)]'=p(x)(4-x)²，则①式可改写成[*]．
令F(x)=xP(x)f(x)，可见F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导且F(0)=0，又由f(0)f(1)＜0及f(x)在[0，1]上连续可知，存在η∈(0，1)使得f(η)=0，从而F(x)在[0，η]上满足罗尔定理的全部条件．由罗尔定理知：[*](0，1)使得F'(ξ)=0，即题目的结论成立．
[*]
从而[*]
由f(x)在[0，1]上连续且f(0)f(1)＜0知[*]η∈(0，1)使得f(η)=0．
设[*]，由题设知F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)．按罗尔定理知：存在ξ∈(0，η)即ξ∈(0，1)使得F'(ξ)=0．由于
[*]
且[*]在(0，η)内不等于零，故由F'(ξ)=0即知
ξf'(ξ)+(4-ξ)²f(ξ)=0．
证毕．