问答题
利用DFT的卷积性质求题中各对序列的4点循环卷积。
(1)f 1 (k)={4，2，10，5}，f 2 (k)={3，7，9，11}
(2)f 1 (k){1，2，3，4}，f 2 (k)={1，1，1，1}
(3)f 1 (k){1，1，1，1}，f 2 (k)={1，1，1}
(4)f 1 (k){1，2，3，4}，f 2 (k)={0，1，0}
(1)f 1 (k)={4，2，10，5}，f 2 (k)={3，7，9，11}
(2)f 1 (k){1，2，3，4}，f 2 (k)={1，1，1，1}
(3)f 1 (k){1，1，1，1}，f 2 (k)={1，1，1}
(4)f 1 (k){1，2，3，4}，f 2 (k)={0，1，0}
【正确答案】
【答案解析】解 本题中涉及的循环卷积的长度及DFT、FDFT的长度均为4，故只需考虑W
4
方阵。以下计算均利用矩阵，W
4
方阵直接给出其值。
(1)f 1 (k)={4，2，10，5}，f 2 (k)={3，7，9，11}
先求F 1 (m)和F 2 (m)。
即
F 1 (m)=(21，-6+j3，7，6-j3}
F 2 (m)={30，-6+j4，-6，-6-j4}
则F(m)=F 1 (m)·F 2 (m)={630，24-j42，-42，24+j42}
通过IDFT，可得
即f 1 (k)与f 2 (k)的4点循环卷积结果为{159，189，135，147}。
(2)f 1 (k)={1，2，3，4}，f 2 (k)={1，1，1，1}
先求F 1 (m)和F 2 (m)。
即
F 1 (m)={10，-2+j2，-2，-2-j2}
F 2 (m)={4，0，0，0}
则F(m)=F 1 (m)·F 2 (m)={40，0，0，0}
通过IDFT，可得
即f 1 (k)与f 2 (k)的4点循环卷积结果为{10，10，10，10}。
(3)f 1 (k)={1，1，1，1}，f 2 (k)={1，1，1}
由第(2)小可知F 1 (m)={4，0，0，0}，而
即
F 2 m={3，-j，1，j}
则F(m)=F 1 (m)·F 2 (m)={12，0，0，0}
通过IDFT，可得
即f 1 (k)与f 2 (k)的4点循环卷积结果为{3，3，3，3}。
(4)f 1 (k)={1，2，3，4)，f 2 (k)={0，1，0)
由第(2)小题可知F 1 (m)={10，-2+j2，-2，-2-j2}，而
即
F 2 (m)={1，-j，-1，j}
则F(m)=F 1 (m)·F 2 (m)={10，2+j2，2，2-j2}
通过IDFT，可得
(1)f 1 (k)={4，2，10，5}，f 2 (k)={3，7，9，11}
先求F 1 (m)和F 2 (m)。
即
F 1 (m)=(21，-6+j3，7，6-j3}
F 2 (m)={30，-6+j4，-6，-6-j4}
则F(m)=F 1 (m)·F 2 (m)={630，24-j42，-42，24+j42}
通过IDFT，可得
即f 1 (k)与f 2 (k)的4点循环卷积结果为{159，189，135，147}。
(2)f 1 (k)={1，2，3，4}，f 2 (k)={1，1，1，1}
先求F 1 (m)和F 2 (m)。
即
F 1 (m)={10，-2+j2，-2，-2-j2}
F 2 (m)={4，0，0，0}
则F(m)=F 1 (m)·F 2 (m)={40，0，0，0}
通过IDFT，可得
即f 1 (k)与f 2 (k)的4点循环卷积结果为{10，10，10，10}。
(3)f 1 (k)={1，1，1，1}，f 2 (k)={1，1，1}
由第(2)小可知F 1 (m)={4，0，0，0}，而
即
F 2 m={3，-j，1，j}
则F(m)=F 1 (m)·F 2 (m)={12，0，0，0}
通过IDFT，可得
即f 1 (k)与f 2 (k)的4点循环卷积结果为{3，3，3，3}。
(4)f 1 (k)={1，2，3，4)，f 2 (k)={0，1，0)
由第(2)小题可知F 1 (m)={10，-2+j2，-2，-2-j2}，而
即
F 2 (m)={1，-j，-1，j}
则F(m)=F 1 (m)·F 2 (m)={10，2+j2，2，2-j2}
通过IDFT，可得