【正确答案】 D

【答案解析】[解析] f(x)在区间[0，1)上的原函数为sinx+C₁形式，f(x)在区间(-1，0)上的原函数为-cosx+C₂形式．如果f(x)在(-1，1)上存在原函数，则在x=0处该原函数应连续，
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应有C₁=C₂-1．所以如果f(x)在(-1，1)上存在原函数，则应是
[*]
形式．但上述F(x)的
F'₊(0)=1，F'_-(0)=0，
F'(0)不存在．所以此f(x)在(-1，1)上不存在原函数．而g(x)在(-1，1)上连续，根据原函数存在定理，它在(-1，1)上存在原函数．故选(D)．
[评注] 事实上有下述定理：设f(x)在x=x₀处有跳跃间断点，则在任意一个包含x=x₀在其内部的区间(a，b)上，f(x)必定不存在原函数．