选择题
8.[2017年] 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f＂(x)＞0，则( )
【正确答案】
B
【答案解析】 结合题干和选项，可选取x∈(一1，0)和x∈(0，1)讨论，由于函数f(x)
二阶可导，且f＂(x)＞0，可知f(x)在x∈(一1，1)内连续，故f(x)dx=∫0-1f(x)dx+∫10f(x)dx．另一种方法是选取特殊函数进行求解．
解一 在x∈(0，1)内，记G(x)=
，则G＇(x)=
，而
=f＇(ξ)，ξ∈(0，1)，所以G(x)在(0，1)内递增，G(x)＜G(1)，即f(x)＜2x一1，
x∈(0，1),∫10f(x)dx＜∫10(2x—1)dx=0．
同理，当x∈(一1，0)时，∫0-1 f(z)dx＜0．
故∫1-1f(x)dx=∫0-1f(x)dx+∫10f(x)dx＜0．仅(B)入选．
解二 取特殊函数法．选取符合题设条件的函数，
f(x)=2x2一l，显然∫1-1f(x)dx＜0(见图1．2．1．1中阴影部分)．
二阶可导，且f＂(x)＞0，可知f(x)在x∈(一1，1)内连续，故f(x)dx=∫0-1f(x)dx+∫10f(x)dx．另一种方法是选取特殊函数进行求解．
解一 在x∈(0，1)内，记G(x)=
，则G＇(x)=，而=f＇(ξ)，ξ∈(0，1)，所以G(x)在(0，1)内递增，G(x)＜G(1)，即f(x)＜2x一1，x∈(0，1),∫10f(x)dx＜∫10(2x—1)dx=0．
同理，当x∈(一1，0)时，∫0-1 f(z)dx＜0．
故∫1-1f(x)dx=∫0-1f(x)dx+∫10f(x)dx＜0．仅(B)入选．
解二 取特殊函数法．选取符合题设条件的函数，
f(x)=2x2一l，显然∫1-1f(x)dx＜0(见图1．2．1．1中阴影部分)．