问答题
已知平面曲线Ax
2
+2Bxy+Cy
2
=1 (C＞0，AC—B
2
＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．
【正确答案】正确答案：椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d
2
=x
2
+y
2
，条件为Ax
2
+2Bxy+Cy
2
一1=0． 令F(x，y，λ)=x
2
+y
2
一A(Ax
2
+2Bxy+Cy
2
一1)，解方程组
将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得 [(1一Aλ)x
2
一Bλxy]+[一Bλxy+(1一Cλ)y
2
]=0， 即 x
2
+y
2
=λ(Ax
2
+2Bxy+Cy
2
)=λ， 于是可得d=
． 从直观知道，函数d
2
的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F'
x
=0，F'
y
=0有非零解，其系数行列式应为零，即
该方程一定有两个根λ
1
，λ
2
，它们分别对应d
2
的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为
将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得 [(1一Aλ)x
2
一Bλxy]+[一Bλxy+(1一Cλ)y
2
]=0， 即 x
2
+y
2
=λ(Ax
2
+2Bxy+Cy
2
)=λ， 于是可得d=
． 从直观知道，函数d
2
的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F'
x
=0，F'
y
=0有非零解，其系数行列式应为零，即
该方程一定有两个根λ
1
，λ
2
，它们分别对应d
2
的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为
【答案解析】解析：只需求椭圆的半长轴a与半短轴b，它们分别是椭圆上的点到中心(原点)的距离的最大值与最小值．因此，归结为求解条件极值问题．