填空题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
，的负惯性指数为1，则a的取值范围是
【正确答案】
1、正确答案：-2≤a＜2
【答案解析】解析：用配方法： f(x
1
，x
2
，x
3
) =x
1
2-x22+2ax1x3+4x2x3 =(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32． 由负惯性指数为1，得(4-a2)≥0，-2≤a≤2． 【解法二】 此二次型的矩阵[*] 设A的3个特征值按照大小顺序为λ1≤λ2≤λ3．则λ1+λ2+λ3=0．负惯性指数为1即λ1＜0≤λ2≤λ3．则｜A｜≤0．反之，如果｜A｜＜0，则特征值一定是2正1负，如果｜A｜=0，则特征值一定1正1负1个0．于是负惯性指数为[*]｜A｜≤0．计算出｜A｜=a2-4，得-2≤a＜2．