解答题
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。
问答题
12.根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
【正确答案】设在t时刻，液面的高度为y，此时液面的面积为
A(t)=πφ2(y)，
由题设，液面的面积将πm2／min的速率均匀扩大，可得
A(t)=πφ2(y)，
由题设，液面的面积将πm2／min的速率均匀扩大，可得
【答案解析】
问答题
13.求曲线x=φ(y)的方程。
【正确答案】液面的高度为Y时，液体的体积为
V(t)=π∫0yφ2(μ)dμ，
由题设，以3m3／min的速率向容器内注入液体，得
[π∫0yφ2(μ)dμ]=3，
所以
π∫0yφ2(μ)dμ=3t
=3φ2(y)一12，
上式两边对y求导，得
πφ2(y)=6φ(y)φ'(y)，
即
φ(y)，
解此微分方程，得φ(y)=
，其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为
x=
V(t)=π∫0yφ2(μ)dμ，
由题设，以3m3／min的速率向容器内注入液体，得
[π∫0yφ2(μ)dμ]=3，所以
π∫0yφ2(μ)dμ=3t
=3φ2(y)一12，
上式两边对y求导，得
πφ2(y)=6φ(y)φ'(y)，
即
φ(y)，解此微分方程，得φ(y)=
，其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为x=
【答案解析】