单选题
下列命题正确的是______．
A．若f(x)在x 0 处可导，则一定存在δ＞0，在|x-x 0 |＜δ内f(x)可导
B．若f(x)在x 0 处连续，则一定存在δ＞0，在|x-x 0 |＜δ内f(x)连续
C．若
存在，则f(x)在x
0
处可导
D．若f(x)在x 0 的去心邻域内可导，f(x)在x 0 处连续，且
存在，则f(x)在x
0
处可导，且
A．若f(x)在x 0 处可导，则一定存在δ＞0，在|x-x 0 |＜δ内f(x)可导
B．若f(x)在x 0 处连续，则一定存在δ＞0，在|x-x 0 |＜δ内f(x)连续
C．若
存在，则f(x)在x
0
处可导
D．若f(x)在x 0 的去心邻域内可导，f(x)在x 0 处连续，且
存在，则f(x)在x
0
处可导，且
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 令
由
得f(x)在x=0处可导(也连续)．
对任意的a≠0，因为
不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，A，B不对；
令
显然
，因为
，所以f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，C不对；
因为f(x)在x 0 处连续且在x 0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(x)-f(x 0 )=f"(ξ)(x-x 0 )或者
，其中ξ介于x
0
与x之间，两边取极限得
存在，即f(x)在x
0
处可导，且
由
得f(x)在x=0处可导(也连续)．
对任意的a≠0，因为
不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，A，B不对；
令
显然
，因为
，所以f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，C不对；
因为f(x)在x 0 处连续且在x 0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(x)-f(x 0 )=f"(ξ)(x-x 0 )或者
，其中ξ介于x
0
与x之间，两边取极限得
存在，即f(x)在x
0
处可导，且