【正确答案】 (I)由秩(A^TA)=秩(A)=2可求得a的值；(Ⅱ)写出二次型矩阵A^TA求出其特征值，将每一个特征值代入(Aλ－AE)X=0求出其基础解系，将基础解系正交规范化，以这些向量为列向量的矩阵即为正交变换Q．这时以特征值为系数的标准形即为所求的标准形．
(I)因二次型的秩为2，故秩(A^TA)=秩(A)=2，而

故当a=一1时秩(A)=2，即实数a的值等于一1．
(II)令B=A^TA=，则

=(λ一2)[(λ一2)(λ一4)一8]=λ(λ一2)(λ一6)．
故B的特征值为λ₁=2，λ₂=6，λ₃=0．
解(2E—B)X=0，(6E—B)X=0，(0E—B)X=0，得其基础解系分别为
α₁=[1，一1，0]^T，α₂=[1，1，2]^T，α₃=[1，1，一1]^T．
因λ₁，λ₂，λ₃互异，α₁，α₂，α₃必相互正交，只需将其单位化，得
β₁=[1，一1，0]^T，β₂=[1，1，2]^T，β₃=