问答题
【正确答案】
【答案解析】解 令α
T
β=k，则A
2
=kA，
设AX=λX，则A 2 X=λ 2 X=kλX，即λ(λ-k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．
由λ 1 +…+λ n =tr(A)且tr(A)=k得λ 1 =…=λ n-1 =0，λ n =k．
因为r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，
即λ=0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．
设AX=λX，则A 2 X=λ 2 X=kλX，即λ(λ-k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．
由λ 1 +…+λ n =tr(A)且tr(A)=k得λ 1 =…=λ n-1 =0，λ n =k．
因为r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，
即λ=0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．