解答题
16.[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中
【正确答案】解一 当(n+1)an=0即a=0时，此时增广矩阵
和系数矩阵的秩均为n一1＜n，
故方程组有无穷多组解，且
①
是含最高阶单位矩阵的矩阵．因n一秩(A)=1，故对应的齐次方程组的基础解系只含一个解向量．由基础解系和特解的简便求法，得基础解系和特征分别为
α=[1，0，0，…，0]T， η=[0，l，0，…，0]T，
故AX=b的通解为X=kα+η，k为任意常数．
解二 因秩(A)=秩(
)=n—1，故∣A∣=(n+1)an=0．因而a=0时方程组有无穷多组解．由解一中的式①知，AX=0的同解方程组为
自由变量为x1．取x1=1，则其基础解系为α=[1，0，…，0]T，AX=0的通解为kα，k为任意常数．
又由AX=b的同解方程组为
满足上方程，故其特解为η=[0，1，0，…，0]T或在同解方程组
和系数矩阵的秩均为n一1＜n，故方程组有无穷多组解，且
①是含最高阶单位矩阵的矩阵．因n一秩(A)=1，故对应的齐次方程组的基础解系只含一个解向量．由基础解系和特解的简便求法，得基础解系和特征分别为α=[1，0，0，…，0]T， η=[0，l，0，…，0]T，
故AX=b的通解为X=kα+η，k为任意常数．
解二 因秩(A)=秩(
)=n—1，故∣A∣=(n+1)an=0．因而a=0时方程组有无穷多组解．由解一中的式①知，AX=0的同解方程组为自由变量为x1．取x1=1，则其基础解系为α=[1，0，…，0]T，AX=0的通解为kα，k为任意常数．又由AX=b的同解方程组为
满足上方程，故其特解为η=[0，1，0，…，0]T或在同解方程组【答案解析】