【正确答案】因为f(x)是区间[-1，1]上的奇函数，所以f(0)=0． 因为函数f(x)在区间[0，1]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得 f(1)-f(0)=f'(ξ) 又因为f(1)=1，所以f'(ξ)=1．

【正确答案】因为f(x)是奇函数，所以f'(x)是偶函数，故f'(-ξ)=f'(ξ)=1．
今F(x)=[f'(x)-1]e^x，则F(x)可导，且F(-ξ)=F(ξ)=0．
根据罗尔定理，存在η∈(-ξ，ξ)[*](-1，1)，使得F'(η)=0．
由F'(η)=[f"(η)+f'(η)-1]e^η且e^η≠0，得f"(η)+f'(η)=1．

【答案解析】本题主要考查罗尔定理和拉格朗日中值定理的应用．

【正确答案】解 方程y³+xy²+x²y+6=0两端对z求导得
3y²y'+y²+2xyy'+2xy+x²y'=0 (1)
在(1)式中令y'=0，得y²+2xy=0，由此可得，y=0，y=-2x，显然y=0不满足原方程，将y=-2x代入原方程y²十xy²+x²y+6=0，得-6x³+6=0，解得x₀=1，f(1)=-2，
f'(1)=0．
对(1)式两端再对x求导得
6yy'²+3y²y"+4yy'+2xy'²+2xyy"+2y+4xy'+x²y"=0
将x=1，f(1)=-2，f'(1)=0代入上式得[*]．
则函数y=f(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=-2．

【答案解析】本题主要考查隐函数的极值．