解答题   若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n-1.又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(n)(x)试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．
 
【正确答案】
【答案解析】[证] 令u(n-1)(x)=φ(n-1)(x)-ψ(n-1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得
   u(n-1)(x)-u(n-1)(x0)=u(n)(ξ)·(x-x0)，x0＜ξ＜x．
   又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)-u(n-1)(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(n-1)(x)＞0，即当x＞x0时，φ(n-1)(x)＞ψ(n-1)(x)．
   同理可证u(n-2)(x)=φ(n-2)(x)-ψ(n-2)(x)＞0.
   归纳有u(n-3)(x)＞0，…，u'(x)＞0，u(x)＞0.于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．