【正确答案】(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ²-3λ=λ(λ-3)=0，所以通解为
=C₁+C₂e^3x．
再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具有形式y^*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得
[y^*(x)]''-3[y^*(x)]'=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x．
比较方程两端的系数，得解得A=1，B=0，即特解为y^*(x)=x²．从而，原方程的通解为y(x)=x²+C₁+C₂e^3x，其中C₁，C₂为任意常数．
(Ⅱ)由于cosxcos2x=(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y''+y=cosx与y''+y=cos3x的特解y₁^*(x)与y₂^*(x)，相加就是原方程的特解．
由于相应齐次方程的特征方程为λ²+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C₁cosx+C₂sinx；同时y''+y=cosx的特解应具形式：y₁^*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=．y₁^*(x)=sinx．
另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y₂^*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=，D=0．这样，即得所解方程的通解为y(x)=