填空题
方程y"+y"-2y=(6x+2)e
x
满足y(0)=3，y"(0)=0的特解y*= 1．
【正确答案】
【答案解析】(x
2
+6)e
x
-3e
-2x
[解析] 题设二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ
2
+λ-2=0，特征根是λ
1
=1与λ
2
=-2．从而对应的齐次线性微分方程有线性无关的两个特解e
x
与e
-2x
，且对应于方程非齐次项f(x)=(6x+2)e
x
，可考虑非齐次微分方程具有形状为y
*
=x(Ax+B)e
x
=(Ax
2
+Bx)e
x
的特解．
把y * =(Ax 2 +Bx)e x ，(y * )"=(Ax 2 +Bx+2Ax+B)e x 与(y * )"=(Ax 2 +bx+4Ax+2B+2A)e x 代入方程可得
可确定常数A=1，B=0，故非齐次方程具有特解y * =x 2 e x ．
按通解结构定理，应设通解为y=C 1 e x +C 2 e -2x +x 2 e x ，其中C 1 与C 2 是两个任意常数．利用初值y(0)=3和y"(0)=0可得
把y * =(Ax 2 +Bx)e x ，(y * )"=(Ax 2 +Bx+2Ax+B)e x 与(y * )"=(Ax 2 +bx+4Ax+2B+2A)e x 代入方程可得
可确定常数A=1，B=0，故非齐次方程具有特解y * =x 2 e x ．
按通解结构定理，应设通解为y=C 1 e x +C 2 e -2x +x 2 e x ，其中C 1 与C 2 是两个任意常数．利用初值y(0)=3和y"(0)=0可得