【正确答案】 1、-ln(1-x)．    

【答案解析】[分析一] 题设的二阶微分方程不显含自变量x，令y'=p并以y为自变量可降阶为关于p的一阶微分方程．
注意当令y'=p时[*]，代入原方程即得[*]，把它改写为[*]=2e^2y，分离变量有2pdp=2e^2ydy，积分即得其通解为p²=e^2y+C．
利用题设的初值知当y=0时p=1，由此可确定常数C=0．于是得到新方程p²=e^2y，因为初值p=1＞0，故可求p＞0的解，即应解微分方程p=e^y，即[*]．
分离变量可得e^-ydy=dx，积分即得其通解为e^-y=C₁-x，即y=-ln(C₁-x)．利用初值y(0)=0可确定常数C₁=1，故所求特解是y=-ln(1-x)．
[分析二] 此二阶方程不显含x且不显含y，将方程两边同乘y'得
y'y"=e^2yy'
即[*]
积分得 y'²=e^2y+C₁
由y(0)=0，y'(0)=1，定出C₁=0．因y'(0)=1＞0，故可求y'＞0的解y'=e^y，其余同[分析一] 可求出y=-ln(1-x)．
求解二阶方程
y"=f(y)
的一个方法是：两边同乘y'得
[*]
积分得[*]
由此解出y'后再求出y