问答题
(本题满分11分)
计算二重积分
计算二重积分
【正确答案】
【答案解析】解 画出积分区域D的图形如下图所示．要先处理被积函数中的最小函数，为此用y=x分D为D
1
，D
2
两部分，则
要处理被积函数中的绝对值函数，利用对称性结论将简单些．为此用y=-x再划分D 1 ，D 2 分别为D 11 ，D 12 ；D 21 ，D 22 ，考虑到x|xy|是x的奇函数，而D 12 关于y轴对称；y|xy|是y的奇函数，而D 22 关于x轴对称，故有
于是
注 计算①式时也可直接利用二重积分的积分区域可加性处理．以计算
为例，如下图，有
要处理被积函数中的绝对值函数，利用对称性结论将简单些．为此用y=-x再划分D 1 ，D 2 分别为D 11 ，D 12 ；D 21 ，D 22 ，考虑到x|xy|是x的奇函数，而D 12 关于y轴对称；y|xy|是y的奇函数，而D 22 关于x轴对称，故有
于是
注 计算①式时也可直接利用二重积分的积分区域可加性处理．以计算
为例，如下图，有