解下列微分方程：
(Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程为λ
2
－7λ＋12＝0，它有两个互异的实根：λ
1
＝3，λ
2
＝4，所以，其通解为
由于0不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式y
*
(χ)＝Aχ＋B．代入方程，可得A＝
，B＝
，所以，原方程的通解为y(χ)＝
代入初始条件，则得
因此所求的特解为y(χ)＝
(Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai，所以其通解为
(χ)＝C
1
cosaχ＋C
2
sinaχ．求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbχ＋Bsinbχ，将其代入原方程，则得 A＝
，B＝0． 所以，通解为y(χ)＝
cosbχ＋C
1
cosaχ＋C
2
sinaχ，其中C
1
，C
2
为任意常数． ②当a＝b时，特解的形式应为Aχcosaχ＋Bχsinaχ，代入原方程，则得 A＝0．B＝
． 原方程的通解为y(χ)＝
由于0不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式y
*
(χ)＝Aχ＋B．代入方程，可得A＝
，B＝
，所以，原方程的通解为y(χ)＝
代入初始条件，则得
因此所求的特解为y(χ)＝
(Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai，所以其通解为
(χ)＝C
1
cosaχ＋C
2
sinaχ．求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbχ＋Bsinbχ，将其代入原方程，则得 A＝
，B＝0． 所以，通解为y(χ)＝
cosbχ＋C
1
cosaχ＋C
2
sinaχ，其中C
1
，C
2
为任意常数． ②当a＝b时，特解的形式应为Aχcosaχ＋Bχsinaχ，代入原方程，则得 A＝0．B＝
． 原方程的通解为y(χ)＝
【答案解析】