【正确答案】 由A为实对称矩阵推出B也为实对称矩阵，所给特征向量不完整，需用实对称矩阵的性质求出A的所有特征向量．再利用相似对角化，求出矩阵B．
(Ⅰ)令f(x)=x⁵一4x³+1，则B=f(A)=A⁵一4A³+E．因A的特征值为λ₁=1，
λ₂=2，λ₃=一2，故B=f(A)的三个特征值分别为
μ₁=f(λ₁)=f(1)=一2，μ₂=f(λ₂)=f(2)=l，μ₃=f(λ₃)=f(一2)=1．
由Aα₁=λ₁α₁=α₁，得到
A²5₁=A⁴Aα₁=A⁴α₁=…=Aα₁=α₁，A³α₁=A²Aα₁=A²α₁=AAα₁=Aα₁=α₁，
故 βα₁=(A⁵一4A³+E)α₁=A⁵α₁一4A³α₁+α₁=α₁－4α₁+α₁=一2α₁，
即B的属于特征值μ₁=f(λ₁)=f(1)=一2的一个特征向量为α₁(与A的属于特征值λ₁=1,的特征向量α₁相同)。所以B的属于特征值μ₁=一2的全部特征向量为k₁α₁，其中k₁为非零的常数．
一般有矩阵A的属于特征值λ_i的特征向量与矩阵B=f(A)的属于特征值f(λ_i)的特征向量相同，故为求B的特征向量只需求出A的特征向量．
设A的属于A的特征向量为α₂=[x₁，x₂，x₃]^T，则因λ₁≠λ₂，故α₂与α₁正交．于是有
α₁^Tα₂=[1,一1,1]=x₁一x₂+x₃=0．
由2E—A=即得A的属于特征值λ₂=2的特征向量为
α₂=[1，1，0]^T，α₃=[一1,0,1]^T．
故B的属于特征值μ₂=f(λ₂)=f(2)=1的线性无关的特征向量为α₂=[1，l，0]^T，α₃=[－1．0．0]^T．
所以B的属于二特征值λ₂=l的全部特征向量为k₂α₂+k₃α₃其中k₂，k₃足不全为零的常数．
(II)解 令P=[α₁，α₂，α₃]=．则P^-1BP=diag(－2，1，1)．于是
B=Pdiag(一2，1，1)P^-1=
=