问答题
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：
问答题
存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
【正确答案】令g(x)=f(x)+x-1，则g(x)在[0，1]上连续，且
g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0
所以存在ξ∈(0．1)，使得
g(ξ)=f(ξ)+ξ-1=0
即 f(ξ)=1-ξ．
【答案解析】
问答题
存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)=1．
【正确答案】根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得
[*]
[*]
从而 [*]
【答案解析】主要考查连续函数介值定理的应用；拉格朗日中值定理的应用．
问答题
设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
【正确答案】分析 若令[*]=f(x)-g(x)，本题需证存在ξ∈(a，b)，使[*]，而[*]=f(a)-g(a)=0，[*]=f(b)-g(b)=0，若能证明存在c∈(a，b)，使[*]=0，此时，[*]，由罗尔定理可证明存在ξ∈(a，b)，使[*]．
证 令[*]=f(x)-g(x)，以下分两种情况讨论：
(1)若f(x)和g(x)在(a，b)内的同一点处c∈(a，b)取到其最大值．则[*]=f(c)-g(c)=0，又[*][*]，由罗尔定理知
[*]ξ1∈(a，c)，使[*]=0；[*]∈(c，b)，使[*]
对[*]在[ξ1，ξ2]上用罗尔定理得，[*]ξ∈(ξ1，ξ2)，使[*]
(2)若f(x)和g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设f(x)和g(x)分别在x1和x2x1＜x2)取到其在(a，b)内的最大值，则
[*]=f(x1)-g(x1)＞0， [*]=f(x2)-g(x2)＜0
由连续函数的介值定理知，[*]c∈(x1，x2)，使[*]．以下证明与(1)相同．
【答案解析】本题主要考查罗尔定理和连续函数介值定理的应用．