解答题
3.在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a＞0为常数．
【正确答案】设所求曲线为y=f(x)．由题设，作出所围梯形，如图1—9—2中的阴影部分所示．
过曲线y=f(x)上的点(x，y)的切线方程为
Y—y=f'(x)(X—x)．
令Y=0，得切线在x轴上的截距为X=x一
，即为梯形的下底的长度．
又梯形的上底的长为x，高为y．因此，梯形面积为
S=
=a2．
由此得微分方程2(xy一a2)y'=y2，即y2
一2yx=一2a2．
这是关于y的一阶非齐次线性微分方程，可求得通解为x=cy2+
，其中c为任意常数．
又因为曲线过点(a，a)，即满足初始条件y(a)=a．代入通解中，得c=
过曲线y=f(x)上的点(x，y)的切线方程为
Y—y=f'(x)(X—x)．
令Y=0，得切线在x轴上的截距为X=x一
，即为梯形的下底的长度．又梯形的上底的长为x，高为y．因此，梯形面积为
S=
=a2．由此得微分方程2(xy一a2)y'=y2，即y2
一2yx=一2a2．这是关于y的一阶非齐次线性微分方程，可求得通解为x=cy2+
，其中c为任意常数．又因为曲线过点(a，a)，即满足初始条件y(a)=a．代入通解中，得c=
【答案解析】