解答题
3.设有齐次线性方程组
【正确答案】设齐次方程组的系数矩阵为A，则
an+1
那么，Ax=0有非零解 丨A丨=0 a=0或a=-1/2(n+1)n．
当a=0时，对系数矩阵A作初等变换，有
故方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，由此得基础解系为
η1=(-1，1，0，…，0)T， η1=(-1，0，1，…，0)T， …， ηn-1=(-1，0，0，…，1)T．
于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1,k21,...,kn-1为任意常数．
当a=1/2(n+1)n时，对系数矩阵作初等行变换，有
故方程组的同解方程组为
由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，
于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数．
an+1那么，Ax=0有非零解 丨A丨=0 a=0或a=-1/2(n+1)n．
当a=0时，对系数矩阵A作初等变换，有
故方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，由此得基础解系为
η1=(-1，1，0，…，0)T， η1=(-1，0，1，…，0)T， …， ηn-1=(-1，0，0，…，1)T．
于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1,k21,...,kn-1为任意常数．
当a=1/2(n+1)n时，对系数矩阵作初等行变换，有
故方程组的同解方程组为
由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，
于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数．
【答案解析】确定参数，使包含n个未知量和n个方程的齐次线性方程组有非零解，通常用两个方法：一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形；再就是由其系数行列式为零解出参数值．本题的关键是参数n有两个俯，对每个值都要讨论．