解答题
2.(10年)设函数f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且
2f(0)＝∫02f(χ)dχ＝f(2)＋f(3)．
(Ⅰ)证明存在η∈(0，2)，使f(η)＝f(0)；
(Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f〞(ξ)＝0．
2f(0)＝∫02f(χ)dχ＝f(2)＋f(3)．
(Ⅰ)证明存在η∈(0，2)，使f(η)＝f(0)；
(Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f〞(ξ)＝0．
【正确答案】(Ⅰ)设F(χ)＝∫0χf(t)dt (0≤χ≤2)，则
∫02f(χ)dχ＝F(2)－F(0)．
根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，2)，使
F(2)－F(0)＝2F′(η)＝2f(η)，
即∫02f(χ)dχ＝2f(η)．
由题设知∫02f(χ)dχ＝2f(0)，故f(η)＝f(0)．
(Ⅱ)
介于f(χ)在[2，3]上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，存在ζ∈[2，3]，使f(ζ)＝
．
由题设知
＝f(0)，故f(ζ)＝f(0)．
由于f(0)＝f(η)＝f(ζ)，且0＜η＜ζ≤3，根据罗尔定理，存在ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，ζ)，使f′(ξ1)＝0，f′(ξ2)＝0，从而存在ξ∈(ξ1，ξ2)
∫02f(χ)dχ＝F(2)－F(0)．
根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，2)，使
F(2)－F(0)＝2F′(η)＝2f(η)，
即∫02f(χ)dχ＝2f(η)．
由题设知∫02f(χ)dχ＝2f(0)，故f(η)＝f(0)．
(Ⅱ)
介于f(χ)在[2，3]上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，存在ζ∈[2，3]，使f(ζ)＝．由题设知
＝f(0)，故f(ζ)＝f(0)．由于f(0)＝f(η)＝f(ζ)，且0＜η＜ζ≤3，根据罗尔定理，存在ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，ζ)，使f′(ξ1)＝0，f′(ξ2)＝0，从而存在ξ∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】