【正确答案】令f(x)＝x³－3x＋k，x∈R，
令f'(x)＝3x²－3＝0，解得驻点x＝－1，x＝1，函数的单增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单减区间为[－1，1]，因此该函数至多有三个根。因为函数f(x)连续，根据零点定理有
f(－∞)＜0，f(－1)＝2＋k，f(1)＝k－2，f(＋∞)＞0。
当k＜－2时，f(－1)＜0，f(1)＜0，函数在(1，＋∞)内存在唯一一个根；
当－2＜k＜2时，f(－1)＞0，f(1)＜0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根；
当k＞2时，f(－1)＞0，f(1)＞0，函数在(－∞，－1)内存在唯一一个根；
当k＝－2时，f(－1)＝0，f(1)＜0，方程在x＝－1处和(1，＋∞)内各有一个根，共两个根；
当k＝2时，f(－1)＞0，f(1)＝0，方程在x＝1处和(－∞，－1)内各有一个根，共两个根。
综上所述，当k＜－2或k＞2，方程有且仅有一个根；当－2＜k＜2，方程有三个根；当k＝±2，方程有两个根。

【答案解析】本题考查方程根的个数，利用零点定理解答。通过讨论k的不同取值，确定函数的单调区间并讨论每个单调区间与x轴是否有交点。