问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=2，f(1)=0．求证：存在0＜η＜ζ＜1，使得f"(η)f"(ζ)=4．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由于g(x)=f(x)-2x在[0，1]上连续，且g(0)=2，g(1)=-2，故由有界闭区间上连续函数的性质可知存在ξ∈(0，1)，使得g(ξ)=0，即f(ξ)=2ξ成立．
对此ξ，分别在区间[0，ξ]与[ξ，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得
即存在0＜η＜ζ＜1，使得
[解析] 设ξ∈(0，1)，在[0，ξ]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，ξ)，使得
在[ξ，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在ζ∈(ξ，1)，使得
从而，存在0＜η＜ζ＜1，使得
要使f"(η)f"(ζ)=4，只需
2f(ξ)-f
2
(ξ)-4ξ+4ξ
2
=0
2[f(ξ)-2ξ]-[f
2
(ξ)-4ξ
2
]=0
[f(ξ)-2ξ][2-f(ξ))-2ξ]=0．
令g(x)=f(x)-2x，由于g(x)在[0，1]上连续，且g(0)=2，g(1)=-2，故由有界闭区间上连续函数的性质知，存在ξ∈(0，1)，使得
g(ξ)=0
对此ξ，分别在区间[0，ξ]与[ξ，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得
即存在0＜η＜ζ＜1，使得
[解析] 设ξ∈(0，1)，在[0，ξ]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，ξ)，使得
在[ξ，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在ζ∈(ξ，1)，使得
从而，存在0＜η＜ζ＜1，使得
要使f"(η)f"(ζ)=4，只需
2f(ξ)-f
2
(ξ)-4ξ+4ξ
2
=0
2[f(ξ)-2ξ]-[f
2
(ξ)-4ξ
2
]=0
[f(ξ)-2ξ][2-f(ξ))-2ξ]=0．
令g(x)=f(x)-2x，由于g(x)在[0，1]上连续，且g(0)=2，g(1)=-2，故由有界闭区间上连续函数的性质知，存在ξ∈(0，1)，使得
g(ξ)=0