解答题
在区间[0，a]上|f"(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：
|f'(0)|+|f'(a)|≤Ma．
【正确答案】
【答案解析】
[证] f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f'(c)=0.
f'(x)在区间[0，c]与[c，a]上分别使用拉格朗日中值定理，得
f'(c)-f'(0)=cf"(ξ
1
)，ξ
1
∈(0，c)，
f'(a)-f'(c)=(a-c)f"(ξ
2
)，ξ
2
∈(c，a)，
所以
|f'(0)|+|f'(a)|=c|f"(ξ
1
)|+(a-c)|f"(ξ
2
)|
≤cM+(a-c)M=aM．
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