问答题
当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：
(Ⅰ)
一1； (Ⅱ)(1+tan
2
x)
simx
一1；
(Ⅲ)
一1； (Ⅱ)(1+tan
2
x)
simx
一1；
(Ⅲ)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)
一1～x
4
—2x
2
～一2x
2
(x→0)，即当x→0时
一1是x的2阶无穷小， 故n=2． (Ⅱ)(1+tan
2
x)
sinx
一1一ln[(1+tan
2
x)
sinx
一1+1] =sinxln(1+tan
2
x)～sinxtan
2
x～x．x
2
=x
3
(x→0)， 即当x→0时(1+tan
2
x)
sinx
一1是x的3阶无穷小，故n=3． (Ⅲ)由1一
是x的4阶无穷小，即当x→0时
是x的4阶无穷小，故n=4．
一1～x
4
—2x
2
～一2x
2
(x→0)，即当x→0时
一1是x的2阶无穷小， 故n=2． (Ⅱ)(1+tan
2
x)
sinx
一1一ln[(1+tan
2
x)
sinx
一1+1] =sinxln(1+tan
2
x)～sinxtan
2
x～x．x
2
=x
3
(x→0)， 即当x→0时(1+tan
2
x)
sinx
一1是x的3阶无穷小，故n=3． (Ⅲ)由1一
是x的4阶无穷小，即当x→0时
是x的4阶无穷小，故n=4．
【答案解析】