单选题
已知n维向量α
1
，α
2
，α
3
线性无关，那么向量组aα
1
+bα
2
，aα
2
+bα
3
，aα
3
+bα
1
线性无关的充分必要条件是
【正确答案】
C
【答案解析】[解析] AD都是aα
1
+bα
2
，aα
2
+bα
3
，aα
3
+bα
1
线性无关的充分条件，记β
1
=aα
1
+bα
2
，β
2
=aα
2
+bα
3
，β
3
=aα
3
+bα
1
则(β 1 ，β 2 ，β 3 )=(aα 1 +bα 2 ，aα 2 +bα 3 ，aα 3 +bα 1 )
由于r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=3
故β 1 ，β 2 ，β 3 线性无关
r(β
1
，β
2
，β
3
)=3
或者，(用定义法)
设k 1 (aα 1 +bα 2 )+k 2 (aα 2 +bα 3 )+k 3 (aα 3 +bα 1 )=0．
即(k 1 a+k 3 b)α 1 +(k 1 b+k 2 a)α 2 +(k 2 b+k 3 a)α 3 =0
由α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，有
故aα 1 +bα 2 ，aα 2 +bα 3 ，aα 3 +aα 1 线性无关
则(β 1 ，β 2 ，β 3 )=(aα 1 +bα 2 ，aα 2 +bα 3 ，aα 3 +bα 1 )
由于r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=3
故β 1 ，β 2 ，β 3 线性无关
r(β
1
，β
2
，β
3
)=3
或者，(用定义法)
设k 1 (aα 1 +bα 2 )+k 2 (aα 2 +bα 3 )+k 3 (aα 3 +bα 1 )=0．
即(k 1 a+k 3 b)α 1 +(k 1 b+k 2 a)α 2 +(k 2 b+k 3 a)α 3 =0
由α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，有
故aα 1 +bα 2 ，aα 2 +bα 3 ，aα 3 +aα 1 线性无关